Как решить: Равнобедренный треугольник вписан в окружность радиуса 4√3?

Как решить задачу (ЕГЭ математика)?

Равнобедренный треугольник вписан в окружность радиуса 4√3. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне, если один из углов треугольника равен 120°.

(Ларин, тренировочный вариант 489)

тэги: егэ, задача, математика категория: образование ответить комментировать бонус 2 ответа: старые выше новые выше по рейтингу 4 Алекс-89 [178K] 2 часа назад

Примерно такой чертёж. Рассуждаем логически и понимаем, что нам попался тупоугольный равнобедренный треугольник. Но два тупых угла (или более двух) ни в одном треугольнике быть не может, ибо 120° + 120° = 240° > 180° — перебор. В общем, тупой угол лежит напротив основания.

Естественно, помним ещё и о том, что в тупоугольном треугольнике лишь одна высота — та, которая исходит из вершины тупого угла и падает на основание — лежит внутри самого треугольника. Две другие — те, которые проведены к продолжениям боковых сторон — лежат за его пределами. В данном случае нас просят найти именно такой отрезок CH, который лежит вне нашего треугольника ABC. В данном случае я достроил отрезок AB вправо и вверх; точка H принадлежит прямой AB.

Дано:

△ABC;

∠ABC = 120°;

R = OM = 4√3;

CH ⊥ AH.

Найти:

CH — ?

Решение.

1) Во-первых, без труда находится каждый из двух внутренних острых углов BAC и BCA, ибо если треугольник равнобедренный, то в нём есть два одинаковых угла:

∠BAC = ∠BCA = (180° — ∠ABC) : 2 = (180° – 120°) : 2 = 60° : 2 = 30°.

2) А можем ли мы найти боковую сторону? Да, по "усиленной" теореме синусов. Как известно, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а ещё каждое из этих трёх отношений сторон к синусу соответствующего противоположного угла равно удвоенному радиусу описанной окружности. Напротив боковой стороны, как мы уже выяснили в пункте № 1, лежит угол в 30° — так давайте найдём саму сторону AB.

AB/sin(∠BCA) = 2R = 2OM,

откуда:

AB = 2OM * sin(∠BCA) = 2 * 4√3 * sin30° = 2 * 4√3 * (1/2) = 4√3.

3) Что можно сделать на данном этапе? Лично мне хочется быть пооригинальнее. Давайте-ка отыщем площадь нашего треугольника по формуле площади через радиус описанной окружности (R = OM) и все три угла (точнее, их синусы). Синус 120 градусов равен √3/2: можно сообразить это, представив себе единичную окружность — ординаты углов 60° и 120° в точности равны друг другу, а 60° — это табличный угол.

S(△ABC) = 2R²sin(∠ABC)sin(∠BAC)sin(∠BCA) = 2 * (4√3)² * sin120° * sin30° * sin30° = 2 * 16 * 3 * (√3/2) * (1/2) * (1/2) = (32 : 8) * 3√3 = 12√3.

4) Мы уже знаем саму сторону AB (пункт № 2); знаем мы теперь также и площадь треугольника ABC (пункт № 3). Не составит труда найти высоту CH по общей простейшей формуле площади треугольника через длину одной из его сторон и длину высоты, проведённой к этой стороне или к её продолжению.

S(△ABC) = (1/2) * AB * CH;

давайте умножим обе части на число 2, дабы избавиться от дроби справа;

2S(△ABC) = AB * CH,

откуда:

CH = 2S(△ABC) : AB = 2 * 12√3 : 4√3 = 24 : 4 = 6. [Как видим, квадратные корни из трёх в числителе и в знаменателе успешно сократились друг с другом!]

Ответ: длина отрезка CH (высоты, проведённой к продолжению боковой стороны AB) равна шести линейным единицам.

1 vdtest [43.2K] 5 минут назад

∠ABC=120°, вписанный, поэтому дуга, на которую он опирается, равна 2∠ABC=2•120°=240°

Соединим центр окружности с точками A, B, и C.

Центральный угол AOC, опирается на дугу ABC, равную 360°-240°=120°, следовательно, ∠AOC=120°

△ABO = △BCO по трём сторонам:

AO = OC, как радиусы окружности

AB = BC, как стороны равнобедренного треугольника

O — общая сторона.

Из этого равенства следует:

∠AOB=∠COB=120°/2=60°

△AOH=△COH по двум сторонам и углу между ними.