Как решить задачу (ЕГЭ математика)?
Равнобедренный треугольник вписан в окружность радиуса 4√3. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне, если один из углов треугольника равен 120°.
(Ларин, тренировочный вариант 489)
тэги: егэ, задача, математика категория: образование ответить комментировать бонус 2 ответа: старые выше новые выше по рейтингу 4 Алекс-89 [178K] 2 часа назад
Примерно такой чертёж. Рассуждаем логически и понимаем, что нам попался тупоугольный равнобедренный треугольник. Но два тупых угла (или более двух) ни в одном треугольнике быть не может, ибо 120° + 120° = 240° > 180° — перебор. В общем, тупой угол лежит напротив основания.
Естественно, помним ещё и о том, что в тупоугольном треугольнике лишь одна высота — та, которая исходит из вершины тупого угла и падает на основание — лежит внутри самого треугольника. Две другие — те, которые проведены к продолжениям боковых сторон — лежат за его пределами. В данном случае нас просят найти именно такой отрезок CH, который лежит вне нашего треугольника ABC. В данном случае я достроил отрезок AB вправо и вверх; точка H принадлежит прямой AB.
Дано:
△ABC;
∠ABC = 120°;
R = OM = 4√3;
CH ⊥ AH.
Найти:
CH — ?
Решение.
1) Во-первых, без труда находится каждый из двух внутренних острых углов BAC и BCA, ибо если треугольник равнобедренный, то в нём есть два одинаковых угла:
∠BAC = ∠BCA = (180° — ∠ABC) : 2 = (180° – 120°) : 2 = 60° : 2 = 30°.
2) А можем ли мы найти боковую сторону? Да, по "усиленной" теореме синусов. Как известно, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а ещё каждое из этих трёх отношений сторон к синусу соответствующего противоположного угла равно удвоенному радиусу описанной окружности. Напротив боковой стороны, как мы уже выяснили в пункте № 1, лежит угол в 30° — так давайте найдём саму сторону AB.
AB/sin(∠BCA) = 2R = 2OM,
откуда:
AB = 2OM * sin(∠BCA) = 2 * 4√3 * sin30° = 2 * 4√3 * (1/2) = 4√3.
3) Что можно сделать на данном этапе? Лично мне хочется быть пооригинальнее. Давайте-ка отыщем площадь нашего треугольника по формуле площади через радиус описанной окружности (R = OM) и все три угла (точнее, их синусы). Синус 120 градусов равен √3/2: можно сообразить это, представив себе единичную окружность — ординаты углов 60° и 120° в точности равны друг другу, а 60° — это табличный угол.
S(△ABC) = 2R²sin(∠ABC)sin(∠BAC)sin(∠BCA) = 2 * (4√3)² * sin120° * sin30° * sin30° = 2 * 16 * 3 * (√3/2) * (1/2) * (1/2) = (32 : 8) * 3√3 = 12√3.
4) Мы уже знаем саму сторону AB (пункт № 2); знаем мы теперь также и площадь треугольника ABC (пункт № 3). Не составит труда найти высоту CH по общей простейшей формуле площади треугольника через длину одной из его сторон и длину высоты, проведённой к этой стороне или к её продолжению.
S(△ABC) = (1/2) * AB * CH;
давайте умножим обе части на число 2, дабы избавиться от дроби справа;
2S(△ABC) = AB * CH,
откуда:
CH = 2S(△ABC) : AB = 2 * 12√3 : 4√3 = 24 : 4 = 6. [Как видим, квадратные корни из трёх в числителе и в знаменателе успешно сократились друг с другом!]
Ответ: длина отрезка CH (высоты, проведённой к продолжению боковой стороны AB) равна шести линейным единицам.
1 vdtest [43.2K] 5 минут назад
∠ABC=120°, вписанный, поэтому дуга, на которую он опирается, равна 2∠ABC=2•120°=240°
Соединим центр окружности с точками A, B, и C.
Центральный угол AOC, опирается на дугу ABC, равную 360°-240°=120°, следовательно, ∠AOC=120°
△ABO = △BCO по трём сторонам:
AO = OC, как радиусы окружности
AB = BC, как стороны равнобедренного треугольника
O — общая сторона.
Из этого равенства следует:
∠AOB=∠COB=120°/2=60°
△AOH=△COH по двум сторонам и углу между ними.
AH=CH, получается, что BH, является высотой в △ABC (OB⊥AC).
OH=AO•cos60°=½AO=½R
AH=√(AO²-OH²)=√(R²-¼R²)=√(¾R²)=R√3/2
AC=2AO=2R√3/2=R√3
∠BCA=∠BAC=(180°-120°)/2=60°/2=30°
△ADC прямоугольный и ∠DCA=30°
AD=AH•sin30°=AH•½=R√3/2
Подставим значение R=4√3 в выражение для определения AD:
AD=R√3/2=4√3•√3/2=2•3=6
Ответ: 6
Источник: